Trong hệ trục tọa độ Đề các, toán tử bình lưu là:

u ⋅ ∇ = u x ∂ ∂ x + u y ∂ ∂ y + u z ∂ ∂ z {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla =u_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}} .

trong đó u = ( u x , u y , u z ) {\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})} là trường vector vận tốc, và ∇ {\displaystyle \nabla } là toán tử del (hay Nabla).

Phương trình bình lưu cho đại lượng bảo toàn được mô tả bởi một trường vô hướng ψ {\displaystyle \psi } sẽ được biểu diễn về mặt toán học bằng một phương trình liên tục:

∂ ψ ∂ t + ∇ ⋅ ( ψ u ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\psi {\mathbf {u} }\right)=0}

trong đó ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot } là toán tử div (divergence) và u {\displaystyle \mathbf {u} } là trường vector vận tốc. Thường xuyên được giả thiết dòng đang xét là không nén ép. nghĩa là trường vector vận tốc thỏa mãn:

∇ ⋅ u = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {u} }=0}

và u {\displaystyle \mathbf {u} } được gọi là solenoidal. Nếu là vậy, phương trình trên có thể được viết lại thành:

∂ ψ ∂ t + u ⋅ ∇ ψ = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0.}

Trường hợp nếu dòng là tĩnh:

u ⋅ ∇ ψ = 0 {\displaystyle {\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0}

nó chỉ ra răng ψ {\displaystyle \psi } là hằng số dọc theo đường dòng (streamline) Do đó, ∂ ψ / ∂ t = 0 , {\displaystyle \partial \psi /\partial t=0,} nên ψ {\displaystyle \psi } không thay đổi theo thời gian.

Nếu một đại lượng vector a {\displaystyle \mathbf {a} } (ví dụ như từ trường) được bình lưu bởi một trường vận tốc selenoidal u {\displaystyle \mathbf {u} } , phương trình bình lưu trên trở thành:

∂ a ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) a = 0. {\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {a} }}{\partial t}}+\left({\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {a} }=0.}

với a {\displaystyle \mathbf {a} } là một trường vector thay cho trường vô hướng ψ {\displaystyle \psi } .